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Thèses et Mémoire de l'Université de Strasbourg

Dualité de Koszul des PROPs

VALLETTE, Bruno (2003) Dualité de Koszul des PROPs. Thèses de doctorat, Université Louis Pasteur.

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Résumé

Nous généralisons la dualité de Koszul des algèbres et des opérades aux PROPs. Alors que les opérades sont des objets algébriques qui représentent les opérations à plusieurs entrées et une seule sortie sur les différents types d'algèbres, les PROPs modélisent les opérations à plusieurs entrées et plusieurs sorties agissant sur des structures algébriques telles que les bigèbres et les bigèbres de Lie. Nous introduisons un nouveau produit monoidal qui décrit les compositions entre ces opérations et nous restreignons notre étude à la partie connexe de chaque PROP, que nous appelons "propérade", par analogie avec les opérades. Nous généralisons aux propéades les différents objets homologiques associés aux algèbres et aux opérades comme les bar et cobar constructions, les modules et les propérades quasi-libres. Pour une propérade (resp. un PROP) donnée, nous construisons une copropérade (resp. un coPROP) dual ainsi qu'un complexe de Koszul dont l'acyclicité est un critère qui permet de déterminer si la cobar construction fournit une résolution quasi-libre, appelée modèle minimal, de la propérade (resp. du PROP) de départ. Pour démontrer ce théorème, nous introduisons une graduation supplémentaire qui provient ici des différents foncteurs analytiques engendrés par le produit monoidal. Cette théorie nous permet de définir des notions de "bigèbres" à homotopie près, sur un PROP de Koszul. Cette notion est l'équivalente au niveau des "bigèbres" de celle d'algèbre à homotpie près, qui est très importante en topologie algèbrique. We generalize the Koszul duality theory for algebras and operads to PROPs. Whereas the operads are algebraic objects that represent the operations with multiple inputs but only one output on any type of algebras, the PROPs model the operations with multiple inputs and multiple outputs acting on algebraic structures like bialgebras and Lie bialgebras. To do this, we introduce a new monoidal product describing the compositions between the operations. We consider the connected part of a PROP, which we call a properad, by analogy with the operads. A properad is a monoid in this monoidal category. We generalize to the properads the homological objects associated to algebras and operads like the bar and cobar construction, the quasi-free modules and the quasi-free properads. To any properad, we associate a Koszul dual coproperad and a Koszul complex whose acyclicity is a criterion that determines whether the cobar construction is a resolution, called the minimal model, of the properad. To prove this theorem, we have used an additional graduation coming from the analytic functors generated by the monoidal product. This theory gives the notion of homotopy type "bialgebra" over a Koszul PROP. This notion corresponds to the one of homotopy type algebra which is a every important notion in algebraic topology.

Type d'EPrint:Thèse de doctorat
Mots-clés libres:Algèbre homologique, dualité de Koszul, PROPs, opérades, modèle minimal, catégorie monoidale, série de Poincare, bigèbres de Lie, bigèbres
Sujets:CL Classification > DDC Dewey Decimal Classification > 500 Sciences de la nature et mathématiques > 510 Mathématiques > 514 Topologie > 514.2 Topologie algébrique
Classification Thèses Unistra > Sciences, technologies > Sciences de la nature et mathématiques > 510 Mathématiques > 514 Topologie > 514.2 Topologie algébrique

UNERA Classification UNERA > ACT Domaine d'activité UNERA > ACT-31 Recherche, recherche et développement
UNERA Classification UNERA > DISC Discipline UNERA > DISC-19 Mathématiques et informatique
Code ID:845
Déposé le :09 Novembre 2004

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