Logo de l'E.N.T. Alsace
Thèses électroniques Service Commun de la documentation
Logo de l'Université de Strasbourg
Thèses et Mémoire de l'Université de Strasbourg

Le problème de conservation de la charge dans le couplage des équations de Vlasov et de Maxwell

BARTHELMÉ, Régine (2005) Le problème de conservation de la charge dans le couplage des équations de Vlasov et de Maxwell. Thèses de doctorat, Université Louis Pasteur.

Plein texte disponible en tant que :

PDF - Un observateur de PDF est nécessaire, comme par exemple GSview, Xpdf or Adobe Acrobat Reader
12646 Kb

Résumé

La production d'une énergie propre et abondante par la fusion nucléaire contrôlée est un domaine de recherche très active. On arrive à produire cette réaction sur Terre en confinant un plasma à très haute température par un champ magnétique dans un tokamak. C'est le coeur du projet ITER. La simulation numérique des plasmas permet de faire des tests à moindre coût. L'objet de cette thèse est d'étudier des méthodes numériques pour la simulation. L'évolution de particules chargées, par exemple celles d'un plasma, est modélisée par le système des équations de Vlasov et de Maxwell. Pour chaque espèce de particules, l'équation de Vlasov : ∂f∕∂t + v.▼xf + q(E + v × B).▼pf = 0 (1) traduit l'invariance de la fonction de distribution f le long des trajectoires de particules soumises aux champs moyens E et B solutions des équations de Maxwell : ∂E∕∂t - c2rot B = -J/є0, (2) ∂B∕∂t + rot E = 0, (3) div E = ρ/є0, (4) div B = 0, (5) où les densités de charge ρ et de courant J sont calculées à partir des fonctions de distribution et vérifient l'équation de conservation de la charge : ρ∕∂t + div J = 0. (6) Dans cette thèse, nous étudions quelques problèmes liés à la méthode PIC (Particle-In-Cell), imaginée en 1955, pour résoudre numériquement ce système d'équations. La méthode PIC est largement utilisée car elle permet d'obtenir des résultats satisfaisants pour un coût de calcul raisonnable. La fonction de distribution f dépendant de sept variables est discrétisée dans l'espaces des phases (positions et vitesses) par un nombre fini de macroparticules qui suivent les équations du mouvement. Les champs autoconsistants sont calculés sur un maillage de l'espace physique. Cette méthode nécessite donc deux étapes d'interpolation : le calcul des termes source des équations de Maxwell sur les noeuds du maillage à partir des positions et vitesses des particules, et l'évaluation des champs agissant sur les particules à partir de leur connaissance aux noeuds du maillage. Les méthodes d'interpolation usuelles donnent cependant des densités de charge et de courant discrètes ne satisfaisant qu'approximativement l'équation de conservation de la charge discrète. La résolution numérique des équations de Maxwell peut mener alors à des solutions non physiques. Il existe deux types de solutions à ce problème. Soit on corrige à chaque pas de temps le champ calculé de manière à ce qu'il satisfasse la contrainte de divergence, soit on utilise un autre algorithme pour calculer la densité de courant, de manière à ce que l'équation de conservation de la charge discrète soit vérifiée. Pour le premier type de solutions, nous rappelons les différentes formulations existant dans la littérature et les regroupons sous une formulation générale. Ces méthodes reviennent toutes à résoudre un système de Maxwell modifié, dans lequel on a introduit un multiplicateur de Lagrange généralisé, reliant la contrainte de divergence sur le champ électrique à l'équation d'Ampère : ∂E∕∂t - c2rot B + c2gradø = -J/є0, (7) ∂B∕∂t + rot E = 0 (8) g(ø) + div E = ρ/є0, (9) div B = 0. (10) Nous apportons de nouvelles démonstrations d'existence et d'unicité de solutions, utilisant la théorie des semi-groupes. Dans un autre chapitre, nous faisons le point des algorithmes existants permettant d'interpoler, à partir des particules, des densités de courant et de charge satisfaisant l'équation de conservation de la charge discrète dans le cas où les équations de Maxwell sont résolues sur un maillage cartésien par un schéma de différences finies de Yee, c'est-à-dire : [(ρ i[indice] (n+1)[exposant] – ρ i[indice] n[exposant] ) / Δt] + (divhJ)i[indice] (n+1/2) [exposant] = 0. La première méthode pour des facteurs forme splines d'ordre 1 (fonctions intervenant dans les étapes d'interpolation) fut celle de Villasenor et Buneman sur un maillage cartésien uniforme. Nous l'étendons à des facteurs forme d'ordre quelconque, ce qui permet de réduire le bruit numérique ou le coût du calcul. Nous l'étendons également à l'ordre 1 au cas d'un maillage cartésien non uniforme. Nous présentons ensuite la méthode plus récente d'Esirkepov, applicable pour une très grande classe de facteurs forme, en détaillant l'obtention des formules. Finalement nous expliquons la toute récente méthode « zigzag » qui permet à l'aide d'un algorithme très simple de calculer des courants satisfaisant l'équation de conservation de la charge discrète sur un maillage cartésien uniforme, à l'ordre 1. Nous expliquons comment l'implémenter pour des ordres de fonctions de forme supérieurs. Nous comparons finalement toutes les méthodes pré-citées sur des cas-tests physiques. Nous comparons également différentes initialisations d'un code PIC. Les résultats obtenus permettent de constater que les méthodes calculant le courant de manière à satisfaire l'équation de conservation de la charge sont plus bruitées que celles corrigeant le champ électrique. On peut réduire ce bruit en utilisant des facteurs forme d'ordre supérieur grâce aux nouvelles méthodes. Néanmoins, nous ne parvenons pas à départager les trois méthodes conservant la charge. Quant aux méthodes corrigeant le champ électrique, la méthode initiale de Boris reste apparemment la plus efficace et la plus simple à implémenter, avec l'inconvénient néanmoins de devoir résoudre un Laplacien à chaque pas de temps. Pour terminer, nous proposons un dernier chapitre dans lequel nous comparons les performances d’un code PIC et d’un code semi-lagrangien.

Type d'EPrint:Thèse de doctorat
Sujets:UNERA Classification UNERA > ACT Domaine d'activité UNERA > ACT-4 Instrumentation, imagerie, analyse, contrôle
CL Classification > DDC Dewey Decimal Classification > 500 Sciences de la nature et mathématiques > 510 Mathématiques > 518 Analyse numérique > 518.2 Méthodes numériques
Classification Thèses Unistra > Sciences, technologies > Sciences de la nature et mathématiques > 510 Mathématiques > 518 Analyse numérique > 518.2 Méthodes numériques

UNERA Classification UNERA > DISC Discipline UNERA > DISC-19 Mathématiques et informatique
Code ID:998
Déposé le :13 Décembre 2005

Administrateurs de l'archive uniquement : éditer cet enregistrement